Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=( logaritmo natural de x)/x
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
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Paso 1.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.3
Diferencia con la regla de la potencia.
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Paso 1.3.1
Combina y .
Paso 1.3.2
Cancela el factor común de .
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Paso 1.3.2.1
Cancela el factor común.
Paso 1.3.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.4
Multiplica por .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 2.2
Diferencia.
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Paso 2.2.1
Multiplica los exponentes en .
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Paso 2.2.1.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 2.2.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.4
Suma y .
Paso 2.2.5
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.4
Diferencia con la regla de la potencia.
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Paso 2.4.1
Combina y .
Paso 2.4.2
Cancela el factor común de y .
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Paso 2.4.2.1
Factoriza de .
Paso 2.4.2.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 2.4.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.4.2.2.2
Factoriza de .
Paso 2.4.2.2.3
Cancela el factor común.
Paso 2.4.2.2.4
Reescribe la expresión.
Paso 2.4.2.2.5
Divide por .
Paso 2.4.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.4.4
Simplifica con la obtención del factor común.
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Paso 2.4.4.1
Multiplica por .
Paso 2.4.4.2
Factoriza de .
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Paso 2.4.4.2.1
Factoriza de .
Paso 2.4.4.2.2
Factoriza de .
Paso 2.4.4.2.3
Factoriza de .
Paso 2.5
Cancela los factores comunes.
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Paso 2.5.1
Factoriza de .
Paso 2.5.2
Cancela el factor común.
Paso 2.5.3
Reescribe la expresión.
Paso 2.6
Simplifica.
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Paso 2.6.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.6.2
Simplifica el numerador.
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Paso 2.6.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.6.2.1.1
Multiplica por .
Paso 2.6.2.1.2
Multiplica .
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Paso 2.6.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 2.6.2.1.2.2
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 2.6.2.2
Resta de .
Paso 2.6.3
Reescribe como .
Paso 2.6.4
Factoriza de .
Paso 2.6.5
Factoriza de .
Paso 2.6.6
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3
Diferencia con la regla de la potencia.
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Paso 4.1.3.1
Combina y .
Paso 4.1.3.2
Cancela el factor común de .
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Paso 4.1.3.2.1
Cancela el factor común.
Paso 4.1.3.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 4.1.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.4
Multiplica por .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 5.3
Resuelve la ecuación en .
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Paso 5.3.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.3.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.3.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.3.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 5.3.2.2.2
Divide por .
Paso 5.3.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.3.2.3.1
Divide por .
Paso 5.3.3
Para resolver , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.
Paso 5.3.4
Reescribe en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si y son números reales positivos y , entonces es equivalente a .
Paso 5.3.5
Reescribe la ecuación como .
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 6.2
Resuelve
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Paso 6.2.1
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 6.2.2
Simplifica .
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Paso 6.2.2.1
Reescribe como .
Paso 6.2.2.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 6.2.2.3
Más o menos es .
Paso 6.3
Establece el argumento en menor o igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 6.4
La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a , el argumento de una raíz cuadrada es menor que o el argumento de un logaritmo es menor o igual que .
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Simplifica el numerador.
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Paso 9.1
Usa las reglas de logaritmos para mover fuera del exponente.
Paso 9.2
El logaritmo natural de es .
Paso 9.3
Multiplica por .
Paso 9.4
Multiplica por .
Paso 9.5
Resta de .
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
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Paso 11.2.1
El logaritmo natural de es .
Paso 11.2.2
La respuesta final es .
Paso 12
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
Paso 13