Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 1.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 + \ln (x) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 + \ln (x) = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) = - 1$

Paso 5.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (x) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Paso 5.5

Resuelve $x$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{e}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{e}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 e$

Paso 9.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$e$

Paso 10

$x = \frac{1}{e}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{e}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{e}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Paso 11.2.2

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Paso 11.2.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Paso 11.2.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 11.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Paso 11.2.6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Paso 11.2.7

Resta $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Paso 11.2.8

Combina $\frac{1}{e}$ y $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Paso 11.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Paso 11.2.10

La respuesta final es $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ es un mínimo local

Paso 13