Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.6

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1.6.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11

Expande $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.2

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.3

Suma $4 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.2

Suma $- 2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.3

Resta $4 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 2.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4

Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ y ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Paso 2.5.5.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Paso 3.2

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}})$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Paso 3.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.5.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.5.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.9.1

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.9.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.9.3.1

Multiplica $x^{2} - 3$ por $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.9.3.2

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.11.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.11.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3)$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.11.2.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $- 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.11.2.3

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{6}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.15

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.16

Simplifica la expresión.

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Paso 3.16.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.16.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x (x^{2} - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{1 + 1} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.20

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Paso 3.21

Combina $2$ y $\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22

Simplifica.

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Paso 3.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.22.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.22.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.22.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2} - 3) + 1 (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.22.3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.22.3.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.22.3.1.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.1.4

Multiplica $3 x^{2}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.2

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} + 0 - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.2.3

Suma $3 x^{4}$ y $0$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 3 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} + 2 \cdot - 3 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.22.3.1.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 (x^{2} x^{2})) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{2 + 2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.6.3

Suma $2$ y $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{4}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.7

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.8

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 2 (18 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.1.9

Multiplica $18$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 36 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.3.2

Resta $12 x^{4}$ de $6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} - 6 + 36 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.4

Reordena los términos.

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.5

Factoriza $6$ de $- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 6$ .

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Paso 3.22.5.1

Factoriza $6$ de $- 6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 36 x^{2} - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.5.2

Factoriza $6$ de $36 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2}) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.5.3

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.5.4

Factoriza $6$ de $6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2})$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4} + 6 x^{2}) + 6 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.5.5

Factoriza $6$ de $6 (- x^{4} + 6 x^{2}) + 6 (- 1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4} + 6 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4}) + 6 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.7

Factoriza $- 1$ de $6 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - (- 6 x^{2})$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.11

Reescribe $- (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ como $- 1 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ .

$f''' (x) = \frac{6 (- 1 (x^{4} - 6 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.22.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{6 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x^{4} - 6 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4.2

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 6 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x + 0) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.3.8

Suma $4 x^{3} - 12 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.5.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{3}$ de ${(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 4.5.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{3}$ de ${(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x)$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.5.2.2

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{3}$ de $- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.5.2.3

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{3}$ de ${(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

Paso 4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{3}$ de ${(x^{2} + 1)}^{8}$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.6.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.10

Combina fracciones.

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Paso 4.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.10.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.10.3

Combina $- 6$ y $\frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.10.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{(6) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11

Simplifica.

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Paso 4.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) + (- 8 x^{4} - 8 (- 6 x^{2}) - 8 \cdot 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 x^{4} x - 8 (- 6 x^{2}) x - 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.11.4.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.11.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3} - 12 x) + 1 (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.11.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.11.4.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.11.4.1.2.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{2} x + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.4.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.4.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{1 + 2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.5

Multiplica $4 x^{3}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 4 x^{3} + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.1.6

Multiplica $- 12 x$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 4 x^{3} - 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.2.2

Suma $- 12 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5}) + 6 (- 8 x^{3}) + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.11.4.1.4.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} + 6 (- 8 x^{3}) + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.4.2

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.5

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.11.4.1.5.1

Mueve $x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 4.11.4.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{1 + 4}) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.5.3

Suma $1$ y $4$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{5}) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.6

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.11.4.1.7.1

Mueve $x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.7.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.11.4.1.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{1 + 2})) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{3})) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.8

Multiplica $- 6$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (48 x^{3}) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.9

Multiplica $48$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.10

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} + 6 (- 8 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.1.11

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.2

Resta $48 x^{5}$ de $24 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 288 x^{3} - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.3

Suma $- 48 x^{3}$ y $288 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 72 x - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.4.4

Resta $48 x$ de $- 72 x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.5

Factoriza $24 x$ de $- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 120 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.5.1

Factoriza $24 x$ de $- 24 x^{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 240 x^{3} - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.5.2

Factoriza $24 x$ de $240 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2}) - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.5.3

Factoriza $24 x$ de $- 120 x$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2}) + 24 x (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.5.4

Factoriza $24 x$ de $24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4} + 10 x^{2}) + 24 x (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.5.5

Factoriza $24 x$ de $24 x (- x^{4} + 10 x^{2}) + 24 x (- 5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4} + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4}) + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.7

Factoriza $- 1$ de $10 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.9

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.11

Reescribe $- (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ como $- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

Paso 4.11.14

Multiplica $\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 4.11.15

Reordena los factores en $\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$