Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Paso 1

Sea $r = 2 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.5

Reorganiza los términos.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.7

Reescribe $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 3

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 4

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 5

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 7

Simplifica.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 8

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Paso 8.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Paso 8.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Paso 8.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ y $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ .

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $- u + \frac{u^{3}}{3}$ en $\sec (0.4636476)$ y en $1$ .

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Para escribir $- \sec (0.4636476)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 13.2.2

Combina $- \sec (0.4636476)$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 13.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 13.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 13.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Paso 13.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Paso 13.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 13.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 13.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Paso 13.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Paso 13.2.10.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Paso 13.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

Paso 13.2.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Paso 13.2.13

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 \sec (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 14.2

Factoriza $- 1$ de $\sec^{3} (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 14.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 14.4

Reescribe $- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ como $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 14.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Forma decimal:

$0.11584138 \dots$

Paso 16