Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 2} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 2$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 2$ .

$\frac{2}{9} {(x^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$