Cálculo Ejemplos

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Paso 1

Sea $u = - t^{2}$ . Entonces $d u = - 2 t d t$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = - t^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 t)$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 t$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{- u}}^{2}$ como $- u$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- u}$ como ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Paso 2.6

Combina $\frac{u}{2}$ y $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Paso 8.2.2

Combina $e^{- t^{2}}$ y $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Paso 8.4

Reordena los factores en $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$