Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales f(x)=x^2e^(-x)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.3.1
Multiplica por .
Paso 1.3.3.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.3.3.3
Reescribe como .
Paso 1.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Reordena los términos.
Paso 1.4.2
Reordena los factores en .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.3.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.7
Multiplica por .
Paso 2.2.8
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.2.9
Reescribe como .
Paso 2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.3.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.3.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.7
Multiplica por .
Paso 2.3.8
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.3.9
Reescribe como .
Paso 2.3.10
Multiplica por .
Paso 2.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.3
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.3.1
Multiplica por .
Paso 2.4.3.2
Multiplica por .
Paso 2.4.3.3
Multiplica por .
Paso 2.4.3.4
Multiplica por .
Paso 2.4.3.5
Resta de .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.3.5.1
Mueve .
Paso 2.4.3.5.2
Resta de .
Paso 2.4.4
Reordena los términos.
Paso 2.4.5
Reordena los factores en .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 4.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.3.1
Multiplica por .
Paso 4.1.3.3.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.3.3.3
Reescribe como .
Paso 4.1.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.4.1
Reordena los términos.
Paso 4.1.4.2
Reordena los factores en .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Factoriza de .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a .
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.5.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 5.5.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 5.5.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 5.6
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.1
Establece igual a .
Paso 5.6.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.6.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.6.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.6.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 5.6.2.2.2.2
Divide por .
Paso 5.6.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.6.2.2.3.1
Divide por .
Paso 5.7
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Simplifica cada término.
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Paso 9.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.2
Multiplica por .
Paso 9.1.3
Cualquier valor elevado a es .
Paso 9.1.4
Multiplica por .
Paso 9.1.5
Multiplica por .
Paso 9.1.6
Multiplica por .
Paso 9.1.7
Cualquier valor elevado a es .
Paso 9.1.8
Multiplica por .
Paso 9.1.9
Multiplica por .
Paso 9.1.10
Cualquier valor elevado a es .
Paso 9.1.11
Multiplica por .
Paso 9.2
Simplifica mediante la adición de números.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.2.1
Suma y .
Paso 9.2.2
Suma y .
Paso 10
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 11.2.2
Multiplica por .
Paso 11.2.3
Cualquier valor elevado a es .
Paso 11.2.4
Multiplica por .
Paso 11.2.5
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 13.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.1.2
Multiplica por .
Paso 13.1.3
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.4
Combina y .
Paso 13.1.5
Multiplica por .
Paso 13.1.6
Multiplica por .
Paso 13.1.7
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.8
Combina y .
Paso 13.1.9
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 13.1.10
Multiplica por .
Paso 13.1.11
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 13.1.12
Combina y .
Paso 13.2
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 13.2.2
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.2.2.1
Resta de .
Paso 13.2.2.2
Suma y .
Paso 13.2.2.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 14
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.2
Multiplica por .
Paso 15.2.3
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 15.2.4
Combina y .
Paso 15.2.5
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un máximo local
Paso 17