Cálculo Ejemplos

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

Paso 1.2

Resuelve $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x - x^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

Paso 1.2.1.2.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$- x^{2} = - 4$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Paso 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 1.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 1.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 1.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 1.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = 2 (2) - 4$

Paso 1.3.2

Simplifica $2 (2) - 4$ .

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = 4 - 4$

Paso 1.3.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - 2$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

Paso 1.4.2

Simplifica $2 (- 2) - 4$ .

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Paso 1.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

Paso 1.4.2.2

Resta $4$ de $- 4$ .

$y = - 8$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

Paso 2

Reordena $2 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

Paso 4.3

Combina los términos opuestos en $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

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Paso 4.3.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

Paso 4.3.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Paso 4.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Paso 4.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Paso 4.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Paso 4.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Paso 4.8

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Paso 4.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.9.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Paso 4.9.2

Evalúa $4 x$ en $2$ y en $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3

Simplifica.

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Paso 4.9.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.5

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.7

Suma $8$ y $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Paso 4.9.3.9

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Paso 4.9.3.10

Suma $8$ y $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Paso 4.9.3.11

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.9.3.12

Combina $16$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Paso 4.9.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Paso 4.9.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.3.14.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Paso 4.9.3.14.2

Suma $- 16$ y $48$ .

$\frac{32}{3}$

Paso 5