Cálculo Ejemplos

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.3

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13.2

Combina $2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13.3

Combina $\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 17.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 19

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 20

Para escribir ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Simplifica ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Multiplica $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 26.1

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 26.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 26.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Paso 26.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 26.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{1}}$

Paso 27

Simplifica $x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Paso 28

Simplifica.

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Paso 28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 28.2

Combina los términos.

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Paso 28.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 28.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 28.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 28.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

Paso 28.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

Paso 28.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

Paso 28.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$