Cálculo Ejemplos

$\ln (3 e^{(2 x - 5)} {(3 x^{3} + 5)}^{7})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

$\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$ .

$\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}}$ .

$\frac{3}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{2 x - 5}$ y $g (x) = {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 5)}^{7}] + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 3 x^{3} + 5$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{3} + 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{3} + 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 5.6.2

Multiplica $9$ por $7$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x - 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x - 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (e^{2 x - 5} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 7.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 7.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 7.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 + 0))$

Paso 7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 7.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} \cdot 2)$

Paso 7.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 \cdot ({(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}))$

Paso 7.6.3

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5})$ .

$(e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}) \frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}}$