Cálculo Ejemplos

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (3 x - y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) (4 x^{3})$

Paso 2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x + y$ .

$x^{4} (1 + y') + 4 \cdot (x + y) x^{3}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 (x + y) x^{3}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + (4 x + 4 y) x^{3}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.4

Combina los términos.

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.4.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x) + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.4.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.6.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x^{1}) + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3 + 1} + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.4.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{4} + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.4.3

Suma $x^{4}$ y $4 x^{4}$ .

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Paso 2.6.5

Reordena los términos.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$y^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (3 - \frac{d}{d x} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x - y$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 \cdot (3 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 (3 x - y) y y'$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x - y) y y'$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) + 2 (- y)) y y'$

Paso 3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) y + 2 (- y) y) y'$

Paso 3.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Paso 3.7.5

Combina los términos.

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Paso 3.7.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Paso 3.7.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' + 2 (- y) y y'$

Paso 3.7.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Paso 3.7.5.4

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Paso 3.7.5.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Paso 3.7.5.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Paso 3.7.5.7

Suma $1$ y $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{2} y'$

Paso 3.7.5.8

Resta $2 y^{2} y'$ de $y^{2} (- y')$ .

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Paso 3.7.5.8.1

Reordena $y^{2}$ y $- 1$ .

$3 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 6 x y y'$

Paso 3.7.5.8.2

Resta $2 y^{2} y'$ de $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y = 3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' = 5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Paso 5.2

Resta $x^{4} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y$

Paso 5.3

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $6 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $- x^{4} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ por $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ por $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4})}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Paso 5.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Paso 5.5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}$

Paso 5.5.3.5

Factoriza $- 1$ de $6 x y$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}$

Paso 5.5.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}$

Paso 5.5.3.7

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}$

Paso 5.5.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Paso 5.5.3.9

Reescribe los negativos.

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Paso 5.5.3.9.1

Reescribe $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ como $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Paso 5.5.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$