Cálculo Ejemplos

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Paso 2.4.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Paso 2.4.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

Paso 3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Paso 5.1.2

Resta $6 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

Paso 5.1.3

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $x^{2} y'$ .

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ .

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ por $x (x - 3 y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ por $x (x - 3 y^{2})$ .

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x - 3 y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x - 3 y^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.6

Para escribir $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x - 3 y^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.7.1

Multiplica $\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

Paso 5.3.3.7.2

Reordena los factores de $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 5.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$