Cálculo Ejemplos

$\tan (x + y) = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Divide cada término en $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ por $\sec^{2} (x + y)$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ por $\sec^{2} (x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (x + y)$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $1 + y'$ por $1$ .

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

Paso 5.1.3.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ .

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

Paso 5.1.3.3

Reescribe $\sec (x + y)$ en términos de senos y cosenos.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

Paso 5.1.3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x + y)}$ .

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

Paso 5.1.3.5

Multiplica $\cos (x + y)$ por $1$ .

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

Paso 5.2.2

Reordena $\cos^{2} (x + y)$ y $- 1$ .

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

Paso 5.2.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

Paso 5.2.4

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x + y)$ .

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

Paso 5.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

Paso 5.2.6

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ como $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

Paso 5.2.7

Aplica la identidad pitagórica.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$