Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 5

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.14644660 \dots$