Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{7} w^{2} \ln (w) d w$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (w)$ y $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Paso 2.2

Combina $\ln (w)$ y $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $w$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $w^{3}$ y $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $w^{3}$ y $w$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $w$ de $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $w$ de $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Paso 4.2.2.5

Divide $w^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $w^{2}$ con respecto a $w$ es $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ en $7$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{1}{3} w^{3}$ en $7$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\ln (7) \cdot 343}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.2

Mueve $343$ a la izquierda de $\ln (7)$ .

$\frac{343 \cdot \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.4

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.5

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 6.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 6.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{343 - 1}{3}$

Paso 6.3.10

Resta $1$ de $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{342}{3}$

Paso 6.3.11

Cancela el factor común de $342$ y $3$ .

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Paso 6.3.11.1

Factoriza $3$ de $342$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3}$

Paso 6.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 (1)}$

Paso 6.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1}$

Paso 6.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{114}{1}$

Paso 6.3.11.2.4

Divide $114$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot 114$

Paso 6.3.12

Multiplica $114$ por $- 1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 114 (\frac{1}{3})$

Paso 6.3.13

Combina $- 114$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 114}{3}$

Paso 6.3.14

Cancela el factor común de $- 114$ y $3$ .

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Paso 6.3.14.1

Factoriza $3$ de $- 114$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3}$

Paso 6.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 (1)}$

Paso 6.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 \cdot 1}$

Paso 6.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 38}{1}$

Paso 6.3.14.2.4

Divide $- 38$ por $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 38$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - \ln (1)}{3}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - 0}{3}$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) + 0}{3}$

Paso 7.3

Suma $343 \ln (7)$ y $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Forma decimal:

$184.48239370 \dots$