Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\tan (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Paso 4

Usa el teorema del binomio.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Paso 5

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Paso 5.2.4

Multiplica los exponentes en ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Paso 5.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 7

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 9

Sea $u_{1} = \sec (x)$ . Entonces $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{1} = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 9.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = \sec (x)$ . Entonces $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 11.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{3}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$