Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{6 x^{2} - 2 x - 7}{\sqrt{x}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 7}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Expande $(6 x^{2} - 2 x - 7) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (6 x^{2} - 2 x) x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 6 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 6 x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.5

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 6 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 6 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.7.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.10

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.12

Resta $1$ de $2$ .

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 11

Dado que $- 7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 7$ fuera de la integral.

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 7 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 13.2

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 14 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 14 x^{\frac{1}{2}} + C$