Cálculo Ejemplos

$\int {(x^{2} - 9)}^{3} (2 x) d x$

Paso 1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} - 9)}^{3}$ .

$\int 2 {(x^{2} - 9)}^{3} x d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int {(x^{2} - 9)}^{3} x d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} - 9$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} - 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 3.1.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int u^{3} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int u^{3} d u$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int u^{3} d u$

Paso 6.3

Multiplica $\int u^{3} d u$ por $1$ .

$\int u^{3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 9$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 9)}^{4} + C$