Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- 2 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 3.8

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Paso 4.4.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Paso 4.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Paso 4.6

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Mueve $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Paso 4.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Paso 4.6.3

Resta $8$ de $3$ .

$- 2 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5.4

Combina los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5.4.3

Combina $6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5.4.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Paso 5.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$