Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} + x + 1}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} + x + 1$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1] - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.5

Suma $3 x^{2} + 1$ y $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $3 x^{3} - x^{3}$ y $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$