Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Paso 1.5

Como $n < m$ , el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

$y = 0$

Paso 1.6

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{{(1)}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2}}$

Paso 2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{0}{1}$

Paso 2.2.3

Divide $0$ por $1$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{{(2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{4}$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{\ln (2)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2.3

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{4}})$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{4}})$

Paso 3.3

Convierte $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ a decimal.

$y = 0.17328679$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{{(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{9}$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{\ln (3)}{9}$ como $\frac{1}{9} \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2.3

Simplifica $\frac{1}{9} \ln (3)$ al mover $\frac{1}{9}$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{9}})$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{9}})$

Paso 4.3

Convierte $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ a decimal.

$y = 0.12206803$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 0), (2, 0.17328679), (3, 0.12206803)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.173 \\ 3 & 0.122 \end{array}$

Paso 6