Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{3 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (x) d x)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} \int e^{3 x} (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Paso 8

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Paso 9

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2.4

Combina $\frac{x}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Paso 13.2.6

Para escribir $- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 13.2.7

Combina $- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.10

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.11

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.12

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 13.2.12.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} e^{3 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 13.2.12.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9})}{3} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (x^{2} e^{3 x} - 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x})) + C$