Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $6 x$ de $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Paso 3.3.2.2

Resta $16$ de $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ es $(- 2, - 8)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 8)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Paso 5.2.2

Resta $25.2$ de $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $1.26$ .

$1.26$

Paso 5.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $1.26$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Paso 6.2.2

Resta $12$ de $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 6.3

En $- 1$ , la segunda derivada es $- 6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Paso 7.2.2

Suma $0.06$ y $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1.26$ .

$1.26$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $1.26$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Paso 9