Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Paso 1

Sea $u = t + 4$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = t + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Paso 1.3

Suma $0$ y $4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

Paso 1.5

Suma $45$ y $4$ .

$u_{upper} = 49$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $49$ y en $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.4

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.2.8.2

Reescribe la expresión.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Paso 4.2.9

Evalúa el exponente.

$14 - 2 \cdot 2$

Paso 4.2.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$14 - 4$

Paso 4.2.11

Resta $4$ de $14$ .

$10$

Paso 5