Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 9 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $9$ es constante con respecto a $t$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - π$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Paso 13.2

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $- π$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 13.3.2

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{9}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 13.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Paso 13.3.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Paso 14.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Paso 14.1.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Paso 14.1.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Paso 14.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Paso 14.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{9}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 14.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{9}{2} (π + 0)$

Paso 14.2

Suma $π$ y $0$ .

$\frac{9}{2} π$

Paso 14.3

Combina $\frac{9}{2}$ y $π$ .

$\frac{9 π}{2}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9 π}{2}$

Forma decimal:

$14.13716694 \dots$

Paso 16