Cálculo Ejemplos

$\int \arctan (4 t) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (4 t)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $t$ y $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Paso 5

Sea $u = 16 t^{2} + 1$ . Entonces $d u = 32 t d t$ , de modo que $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 16 t^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $16 t^{2}$ con respecto a $t$ es $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$32 t + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $32 t$ y $0$ .

$32 t$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Paso 6.2

Mueve $32$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{32}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{32}$ fuera de la integral.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{32}$ y $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $32$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$