Cálculo Ejemplos

$\int_{25}^{3} 6 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 1

Combina $6$ y $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ .

$\int_{25}^{3} \frac{6 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2

Dado que $6$ es constante con respecto a $y$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{25}^{3} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 3

Reescribe $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ como un producto.

$6 \int_{25}^{3} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (y)$ y $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

Paso 5.2

Combina $y^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{y}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

Paso 5.4

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.5.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

Paso 5.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - (2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Paso 7.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ en $3$ y en $25$ .

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

Paso 9.2

Evalúa $2 y^{\frac{1}{2}}$ en $3$ y en $25$ .

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (3)$ .

$6 (2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.1

Cancela el factor común.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.4.2

Reescribe la expresión.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.5

Evalúa el exponente.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.7

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.8

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 9.3.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 9.3.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.10.1

Cancela el factor común.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 9.3.10.2

Reescribe la expresión.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{1}))$

Paso 9.3.11

Evalúa el exponente.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5))$

Paso 9.3.12

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (5^{2}) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Paso 10.1.2

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 (2 \ln (5)) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Paso 10.1.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Paso 10.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 10)$

Paso 10.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 10)$

Paso 10.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 20)$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Paso 10.3.2

Multiplica $- 20$ por $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Paso 10.3.3

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 20$

Paso 10.3.4

Multiplica $6$ por $20$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

Forma decimal:

$- 91.86754125 \dots$