Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Paso 4

Reescribe $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{\ln (x)} + C$