Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{1 + x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina los términos opuestos en $e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ .

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Paso 4.2.2.1

Resta $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Suma $x e^{x}$ y $0$ .

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Reordena los factores en $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$