Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.7.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 3.2.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.10.1

Cancela el factor común.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 3.2.10.2

Reescribe la expresión.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Paso 3.2.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Paso 3.2.12

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Paso 3.2.13

Combina $- 8$ y $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Paso 3.2.14

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Paso 3.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$18 - \frac{16}{3}$

Paso 3.2.16

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 3.2.17

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 3.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Paso 3.2.19

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.19.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Paso 3.2.19.2

Resta $16$ de $54$ .

$\frac{38}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{38}{3}$

Forma decimal:

$12.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$12 \frac{2}{3}$

Paso 5