Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 1.2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{4} - 4 x^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\sqrt{2}$ por $x$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.2.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.2.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Paso 1.4.2.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$4 - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$4 - 8$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $8$ de $4$ .

$- 4$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $- \sqrt{2}$ por $x$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{4}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 1.4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 1.4.3.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 1.4.3.2.1.8

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.4.3.2.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.4.3.2.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.3.2.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.4.3.2.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Paso 1.4.3.2.1.9.5

Evalúa el exponente.

$4 - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.3.2.1.10

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$4 - 8$

Paso 1.4.3.2.2

Resta $8$ de $4$ .

$- 4$

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$81 - 36$

Paso 2.1.2.2

Resta $36$ de $81$ .

$45$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$256 - 64$

Paso 2.2.2.2

Resta $64$ de $256$ .

$192$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, 192)$

Mínimo absoluto: $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Paso 4