Cálculo Ejemplos

\frac{x^{2}}{x - 1}

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ y

g (x) = x - 1

$g (x) = x - 1$ .

\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve

2

$2$ a la izquierda de

x - 1

$x - 1$ .

\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de

x - 1

$x - 1$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 1

$- 1$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma

1

$1$ y

0

$0$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Mueve

x

$x$ .

\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Resta

x^{2}

$x^{2}$ de

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza

x

$x$ de

x^{2} - 2 x

$x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza

x

$x$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza

x

$x$ de

- 2 x

$- 2 x$ .

\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza

x

$x$ de

x \cdot x + x \cdot - 2

$x \cdot x + x \cdot - 2$ .

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$