Cálculo Ejemplos

$y = \frac{9 \sqrt{x}}{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}]$

Paso 3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 10.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 12

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 13

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 14

Combina $- 9$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 15

Simplifica la expresión.

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Paso 15.1

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 15.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$