Cálculo Ejemplos

$\ln (1 + x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot 1$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + x}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{x + 1}$