Cálculo Ejemplos

y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Paso 1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}

$\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ como

{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Paso 3

La derivada de

y

$y$ con respecto a

x

$x$ es

$y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como

$16$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ con respecto a

$x$ es

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ y

$g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u$ como

$4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

$n u^{n - 1}$ donde

$n = \frac{1}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.3

Para escribir

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.4

Combina

$- 1$ y

$\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.6.2

Resta

$4$ de

$1$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.8

Combina

$\frac{1}{4}$ y

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.9

Mueve

${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Paso 4.10

Combina

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ y

$16$ .

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Paso 4.11

Factoriza

$4$ de

$16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Paso 4.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.12.1

Factoriza

$4$ de

$4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Paso 4.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Paso 4.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Paso 4.13

Según la regla de la suma, la derivada de

$4 x^{4} + 4$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.14

Como

$4$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$4 x^{4}$ con respecto a

$x$ es

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.16

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4.17

Como

$4$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$4$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Paso 4.18

Combina fracciones.

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Paso 4.18.1

Suma

$16 x^{3}$ y

$0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Paso 4.18.2

Combina

$16$ y

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Paso 4.18.3

Multiplica

$16$ por

$4$ .

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Paso 4.18.4

Combina

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ y

$x^{3}$ .

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$