Cálculo Ejemplos

$4 \cos (x) \sin (y) = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (x) \sin (y)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (y)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$4 (\cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 (\cos (x) (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) (- \sin (x)))$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\cos (x) \cos (y) y') + 4 (\sin (y) (- \sin (x)))$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (y) \sin (x)$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (x) \sin (y)$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (x) \sin (y) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $4 \cos (x) \cos (y) y' - 4 \sin (x) \sin (y)$ .

$4 y' \cos (x) \cos (y) - 4 \sin (x) \sin (y) = 0$

Paso 5.2

Suma $4 \sin (x) \sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y' \cos (x) \cos (y) = 4 \sin (x) \sin (y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 y' \cos (x) \cos (y) = 4 \sin (x) \sin (y)$ por $4 \cos (x) \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 y' \cos (x) \cos (y) = 4 \sin (x) \sin (y)$ por $4 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{4 y' \cos (x) \cos (y)}{4 \cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y' \cos (x) \cos (y)}{4 \cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 \sin (x) \sin (y)}{4 \cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Paso 5.3.3.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 5.3.3.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Paso 5.3.3.4

Convierte de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$y' = \tan (y) \tan (x)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (y) \tan (x)$