Cálculo Ejemplos

$x^{2} y + y^{2} x = - 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + y^{2} x) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + y^{2} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Paso 2.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y y')$

Paso 2.3.5

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + x (2 y y')$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + 2 x y y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

Paso 3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $x^{2} y'$ .

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' x + x y' (2 y)$ .

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ por $x (x + 2 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ por $x (x + 2 y)$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x + 2 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{2 y}{x + 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $y$ de $- y^{2} - 2 y x$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.5.2

Factoriza $y$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.5.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.9.1

Reescribe $- (y + 2 x)$ como $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Paso 5.3.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$