Cálculo Ejemplos

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Paso 1

Sea

u = 8 x

$u = 8 x$ . Entonces

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ , de modo que

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante

u

$u$ y

d

$d$

u

$u$ .

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Paso 1.1

Deja

u = 8 x

$u = 8 x$ . Obtén

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia

8 x

$8 x$ .

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 1.1.2

Como

8

$8$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

8 x

$8 x$ con respecto a

x

$x$ es

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ .

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica

8

$8$ por

1

$1$ .

8

$8$

8

$8$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por

x

$x$ en

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica

8

$8$ por

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por

x

$x$ en

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Paso 1.5

Multiplica

8

$8$ por

8

$8$ .

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para

u_{lower}

$u_{lower}$ y

u_{upper}

$u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante

u

$u$ ,

d u

$d u$ y los nuevos límites de integración.

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Paso 2

Combina

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ y

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ .

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Paso 3

Dado que

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ es constante con respecto a

u

$u$ , mueve

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ como

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a

u

$u$ es

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en

64

$64$ y en

0

$0$ .

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe

64

$64$ como

8^{2}

$8^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva

8

$8$ a la potencia de

3

$3$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ y

512

$512$ .

\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica

2

$2$ por

512

$512$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Reescribe

0

$0$ como

0^{2}

$0^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 6.2.9.1

Cancela el factor común.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9.2

Reescribe la expresión.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.10

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 6.2.11

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.12

Multiplica

0

$0$ por

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Paso 6.2.13

Suma

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ y

0

$0$ .

\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Paso 6.2.14

Multiplica

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ por

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ .

\frac{1024}{8 \cdot 3}

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Paso 6.2.15

Multiplica

8

$8$ por

3

$3$ .

\frac{1024}{24}

$\frac{1024}{24}$

Paso 6.2.16

Cancela el factor común de

1024

$1024$ y

24

$24$ .

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Paso 6.2.16.1

Factoriza

8

$8$ de

1024

$1024$ .

\frac{8 (128)}{24}

$\frac{8 (128)}{24}$

Paso 6.2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.16.2.1

Factoriza

8

$8$ de

24

$24$ .

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Paso 6.2.16.2.2

Cancela el factor común.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Paso 6.2.16.2.3

Reescribe la expresión.

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

Forma decimal:

42.\overline{6}

$42.\overline{6}$

Forma de número mixto:

42 \frac{2}{3}

$42 \frac{2}{3}$

Paso 8