Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

Paso 1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $x = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 3.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 3.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Dado que $9$ es constante con respecto a $t$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

Paso 10.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

Paso 10.5

Multiplica $2$ por $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

Paso 10.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

Paso 10.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $t$ en $0.3398369$ y en $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u)$ en $0.67967381$ y en $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

Paso 14.3

Suma $0.3398369$ y $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Paso 15.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Paso 15.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.4.1

Evalúa $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Paso 15.1.4.2

Divide $0.62853936$ por $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Paso 15.1.4.3

Evalúa $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

Paso 15.1.4.4

Divide $- 0.99380799$ por $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

Paso 15.1.4.5

Multiplica $- 1$ por $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

Paso 15.1.5

Suma $0.31426968$ y $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

Paso 15.2

Suma $1.06956456$ y $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

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Paso 15.3.1

Combina $\frac{9}{2}$ y $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

Paso 15.3.2

Multiplica $9$ por $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

Paso 15.4

Divide $16.92664417$ por $2$ .

$8.46332208$

Paso 16