Cálculo Ejemplos

\sqrt{4 - x^{2}}

$\sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{4 - x^{2}}$ como

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y

$g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u$ como

$4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

$n u^{n - 1}$ donde

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$4 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 3

Para escribir

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 4

Combina

$- 1$ y

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 6.2

Resta

$2$ de

$1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 7.2

Combina

$\frac{1}{2}$ y

${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 7.3

Mueve

${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de

$4 - x^{2}$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 9

Como

$4$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$4$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 10

Suma

$0$ y

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 11

Como

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$- x^{2}$ con respecto a

$x$ es

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 13.2

Combina

$- 2$ y

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 13.3

Combina

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y

$x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.4

Factoriza

$2$ de

$- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza

$2$ de

$2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$