Cálculo Ejemplos

$\int 7 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int x^{2} \ln (x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{2}$ .

$7 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$7 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x))$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$

Paso 6.2

Reescribe $7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$ como $7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$ .

$7 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$7 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) + C$