Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x - 6}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 6}{(x - 4) (x - 2)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 6) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.6.2

Divide $x - 6$ por $1$ .

$x - 6 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x - 6 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$x - 6 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 6 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$x - 6 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x - 6 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B) (x - 4)$ por $1$ .

$x - 6 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 6 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

Paso 1.1.7.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $B$ .

$x - 6 = A x - 2 A + B x - 4 B$

Paso 1.1.8

Mueve $- 2 A$ .

$x - 6 = A x + B x - 2 A - 4 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 6 = - 2 A - 4 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 A - 4 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 6 = - 2 A - 4 B$ por $1 - B$ .

$- 6 = - 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 2 (1 - B) - 4 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 6 = - 2 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 6 = - 2 + 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 + 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $4 B$ de $2 B$ .

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 6 = - 2 - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $- 6 = - 2 - 2 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 - 2 B = - 6$ .

$- 2 - 2 B = - 6$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 B = - 6 + 2$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $- 6$ y $2$ .

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 2 B = - 4$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 2 B = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $2$ .

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (2)$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A = 1 - 2$

$B = 2$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - 1, B = 2$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- 1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 4} + \frac{2}{x - 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 4} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 4} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x - 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x - 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x - 4$ .

$u_{lower} = 0 - 4$

Paso 4.3

Resta $4$ de $0$ .

$u_{lower} = - 4$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x - 4$ .

$u_{upper} = 1 - 4$

Paso 4.5

Resta $4$ de $1$ .

$u_{upper} = - 3$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 3$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$- \int_{- 4}^{- 3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 7

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Paso 7.3

Resta $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Paso 7.5

Resta $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 4}^{- 3}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $- 3$ y en $- 4$ .

$- ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 4 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Paso 9.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$- ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 4 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis.

$- (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 10.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| - 4 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 4$ y $0$ es $4$ .

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Paso 11.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

Paso 11.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \ln (\frac{3}{4}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimal:

$- 1.09861228 \dots$

Paso 13