Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 1.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$