Cálculo Ejemplos

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x = 3 \sqrt{x}$

Paso 1.2

Resuelve $x = 3 \sqrt{x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 \sqrt{x} = x$

Paso 1.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} = x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.4

Simplifica.

$9 x = x^{2}$

Paso 1.2.4

Resuelve $x$

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Paso 1.2.4.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x - x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$9 u - u^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Factoriza $u$ de $9 u - u^{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $u$ de $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2.2.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

Paso 1.2.4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $9 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $9 - x$ igual a $0$ .

$9 - x = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resuelve $9 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 9$

Paso 1.2.4.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 1.2.4.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.5.2.2.3.1

Divide $- 9$ por $- 1$ .

$x = 9$

Paso 1.2.4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (9 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 9$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 3 \sqrt{0}$

Paso 1.3.2

Simplifica $3 \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 3 \cdot 0$

Paso 1.3.2.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 9$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $9$ por $x$ .

$y = 3 \sqrt{9}$

Paso 1.4.2

Simplifica $3 \sqrt{9}$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \sqrt{9}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 3 \cdot 3$

Paso 1.4.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = 9$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $9$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Paso 3.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Paso 3.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Paso 3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

Paso 3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

Paso 3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Paso 3.10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.10.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $9$ y en $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Paso 3.10.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $9$ y en $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3

Simplifica.

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Paso 3.10.2.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.10.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.5

Multiplica $2$ por $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 3.10.2.3.6.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.10.2.3.9.1

Cancela el factor común.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9.2

Reescribe la expresión.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.11

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 3.10.2.3.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.14

Suma $18$ y $0$ .

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.15

Multiplica $3$ por $18$ .

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.16

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.17

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 3.10.2.3.18

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.10.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 3.10.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 3.10.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 3.10.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 3.10.2.3.18.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

Paso 3.10.2.3.19

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

Paso 3.10.2.3.20

Suma $\frac{81}{2}$ y $0$ .

$54 - \frac{81}{2}$

Paso 3.10.2.3.21

Para escribir $54$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Paso 3.10.2.3.22

Combina $54$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Paso 3.10.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

Paso 3.10.2.3.24

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.3.24.1

Multiplica $54$ por $2$ .

$\frac{108 - 81}{2}$

Paso 3.10.2.3.24.2

Resta $81$ de $108$ .

$\frac{27}{2}$

Paso 4