Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ como un producto.

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (y)$ y $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Paso 3.2

Combina $y^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Paso 3.4

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Paso 3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Paso 3.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Paso 3.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Paso 5.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ en $9$ y en $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 7.2

Evalúa $2 y^{\frac{1}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.4

Evalúa el exponente.

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.6

Mueve $6$ a la izquierda de $\ln (9)$ .

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.9.1

Cancela el factor común.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.9.2

Reescribe la expresión.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.10

Evalúa el exponente.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.12

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.13

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.14

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.15.1

Cancela el factor común.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.15.2

Reescribe la expresión.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.16

Evalúa el exponente.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.18

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3.19

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 7.3.20

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.20.1

Cancela el factor común.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 7.3.20.2

Reescribe la expresión.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Paso 7.3.21

Evalúa el exponente.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

Paso 7.3.22

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

Paso 7.3.23

Resta $4$ de $6$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

Paso 7.3.24

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

Paso 8.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Forma decimal:

$3.63817001 \dots$