Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Paso 1.5

Multiplica $3$ por $27$ .

$u_{upper} = 81$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $81$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $2$ por $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Cancela el factor común de $1458$ y $3$ .

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Paso 6.2.7.1

Factoriza $3$ de $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7.2.4

Divide $486$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.8

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 6.2.12

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.13

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Paso 6.2.14

Suma $486$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Paso 6.2.15

Combina $\frac{1}{3}$ y $486$ .

$\frac{486}{3}$

Paso 6.2.16

Cancela el factor común de $486$ y $3$ .

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Paso 6.2.16.1

Factoriza $3$ de $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Paso 6.2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.16.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Paso 6.2.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{162}{1}$

Paso 6.2.16.2.4

Divide $162$ por $1$ .

$162$

Paso 7