Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{3} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 6

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 7

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 7.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 9

Simplifica.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$