Cálculo Ejemplos

${(x + x^{- 1})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + x^{- 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{- 1}$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Paso 3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.3

Reescribe ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4

Expande $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.1.3.1

Cancela el factor común.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 3.5.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.7.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.8

Expande $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.9.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.2.3

Cancela el factor común.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.2.4

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.5

Multiplica $6 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Paso 3.9.5.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.5.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.7

Multiplica $\frac{3}{x^{2}}$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.9.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.9.9

Multiplica $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.9.9.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{3}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

Paso 3.9.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.9.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

Paso 3.9.9.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 3.11

Suma $- 6$ y $3$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 3.12

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 3.12.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Paso 3.13

Suma $- 3$ y $6$ .

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$