Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $5 \cos (5 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Paso 2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$5 \cos (5 \cdot 0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$5 \cos (0)$

Paso 4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$