Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.3

Multiplica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.4

Cancela el factor común.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 7.5

Divide ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Paso 11.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 11.3

Reordena los factores de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$